Doğrusal Cebir I Ders Notları ve Sınav Soruları – Lineer Cebir I

30 Kasım 2024 – Ahmet Uluca

Üniversitelerde ders olarak okutulan Doğrusal (Lineer) Cebir I Ders Notlarına aşağıda yer verdim. Örnek olarak verilen sorular veya rakamları değiştirilmiş sorular sınavlarda çıkabilir.

Diğer derslere sayfanın en altındaki linklerden veya üst menüde bulunanan site içi arama düğmesinden ulaşabilirsiniz. Sayfanın en altındaki yorumlar kısmından eklenmesini istediğiniz dersleri bildirirseniz en kısa zamanda eklerim.

HAFTA 2: SKALER VE VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER

Yalnızca bir sayı ve bu sayının birimi kullanılarak belirtilebilen ifadelere skaler büyüklük denir.

Örneğin uzunluk, kütle, sıcaklık, yüzey alanı, hacim, …

Büyüklüğü, başlangıç noktası, yönü ve doğrultusu belirtilen ifadelere vektörel büyüklük denir.

Örneğin hız, ivme, kuvvet, …

Şekilde belirtilen u vektörü için;

• Başlangıcı: A noktası
• Yönü: y
• Doğrultusu: xy
• Büyüklüğü: 3br
• Yönlü doğru parçalarına VEKTÖR denir.

Tanımlar

• Tanım 1: Başlangıç ve bitiş noktaları aynı (çakışık) olan vektörlere sıfır vektörü denir.
• Tanım 2: Başlangıç noktası sabit olan vektörlere konum (yer) vektörü denir.
• Tanım 3: Başlangıç noktası belirli bir doğru üzerinde hareket eden vektörlere kayan vektör denir.
• Tanım 4: İki vektörün yönleri aynı ve büyüklükleri de eşit ise bu iki vektöre eşit vektörler denir.
• Tanım 5: İki vektörün büyüklüğü eşit olmasına rağmen yönleri zıt ise bunlara zıt vektörler denir. Vektör ¯u ise zıt vektörü -¯u şeklinde gösterilir.

Vektörel İşlemler

Tanım 6: İki boyutlu bir uzayda vektörlerin başlangıç noktası (0,0) noktası kabul edilirse bu nokta ile x ve y eksenleri doğrultusunda oluşturdukları büyüklükler yine ikili bileşenler şeklinde gösterilebilmektedir.

Dolayısı ile ¯u = (x, y) şeklinde ifade edilebilir.

İki boyutlu uzay: x ve y koordinat duzlemini, A4 kagidi yuzeyini, masanin ustunu, bilgisayarin gorunen yuzeyi gibi yuzeyleri ifade eder.

Üc boyutlu bir evrende yasadigimiz icin uc boyutlu ve daha kucuk boyutlari algiliyoruz. Uc boyutlu bir evrende yasadigimiz icin dorduncu boyutu algiliyamiyoruz. Goremiyoruz. Dorduncu boyut icin cesitli varsayimlar olsada kanitlanmis degil.

Tanım 7-8: Vektörlerin toplamı yine bir vektör belirtmektedir.

Tanım 9: k bir skaler u bir vektör belirtmek üzere, k.u İşlemi tanımlanabilir ve u vektörünün doğrultusunu değiştirmeden sadece boyu ve yönü üzerinde değişiklik oluşabilmektedir.

1 < k → Skaler buyukluk 1 den buyuk ise; vektor ile carptigimizda boyu skaler buyukluk oraninda buyur, yonu degismez, dogrultusu degismez.

0 < k < 1 → Skaler buyukluk  0 ile 1 arasinda ise; vektor ile carptigimizda boyu skaler buyukluk oraninda kisalir, yonu degismez. Dogrultusu degismez.

k = 0 → Skaler buyukluk  0 a esit ise; vektor ile carptigimizda sifir vektorune donusur, yonu ve dogrultusu yoktur.

k < 0 → Skaler buyukluk  0 dan kucuk ise; vektor ile carptigimizda boyu skaler buyukluk oraninda buyur, yonu zit tarafa doner. Dogrultusu degismez.

Tanım 10:

İki boyutlu uzayda grafikteki gibi A ve B noktaları tanımlanmış olsun. A(a1, a2) ve B(b1, b2) noktalarının tanımladığı vektör; B-A = (b1-a1, b2-a2)   AB  vektörü = B-A şeklinde ifade edilebilir.

Soru: A(3, 5) ve B(2, 7) ise AB vektörünü bulunuz.

Cevap: A dan B ye olan pozisyon farkını kullanıyoruz. AB vektoru=B-A=(b1-a1,b2-a2)=(-1, 2) bulunur. Vektorun yonu onemli. Bitis koordinatlarindan baslangic koordinatlari cikariliyor.

HAFTA 3: NORM KAVRAMI

Boyut Kavramı

0 boyut? nokta örnek olarak verillebilir.

1 boyut? Doğru parçası örnek verilebilir. iki yönlüde olsa tek doğru üzerinde olmasından dolayı bir boyutludur.

2 boyut? Koordinat düzlemi örnek verilebilir. 2 doğrultusu vardır. Bir nokta tek bir sayı ile ifade edilemiyor. x ve y gibi iki farklı eksen değeri ile tanımlanabiliyor. B(5,7) gibi. Bir yüzey üzerindedir.

3 boyut? A(3,5,7) örnek verilebilir. Üçüncü bir eksen, doğrultu olması gerekiyor. Eni boyu ve derinliği olması gerekiyor. Bizde 3 boyutlu olduğumuz için 3, 2 ve 1 boyutlu nesneleri algılayabiliyoruz.

• X(1,2,5,9,5,0)
• Y( 2,3,4,5,1,1)
• Z(1,1,2,5,4,0) 3×6

n boyut?

4 boyutu ve daha fazla boyutları noktasal olarak ifade etsekte çizebilmemiz yada algılamamız mümkün değil. Çünkü 3 boyutlu bir varlığız. En fazla 3 boyutlu nesnelerle etkileşim halindeyiz

1 boyutlu, 2 boyutlu ve 3 boyutlu uzayda çalışan formüller için 4 ,5, 6 … boyutlu uzaylarda da çalışır varsayımında bulunuluyor.

Tanım 11: Bir u vektörünün uzunluğu aslında vektörün bitiş noktasının orjinden yani O(0, 0) noktasından olan uzaklığı olarak tanımlanabilir.

Böylece u vektörünün boyu Pisagor Teoremi yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir. Uzunluk vektörlerde mutlak değer sembolü ile ifade edilir.

Bu uzunluğa u vektörünün normu denir. Elde edilen norm değeri skaler bir büyüklüktür.

Örnek:

Cevap:

 Dikkat: Başlangıç ve bitiş noktası verilen bir vektörün boyu aynı zamanda bu iki nokta arasındaki uzaklığı da vermektedir.

Vektörlerde İç Çarpım (Skaler Çarpım)

Tanım 12: V bir vektör uzayı olsun. x, y ∈ V için < x, y > ile gösterilen ve aşağıdaki koşulları sağlayan < , > : V x V → R , (x, y) → < x, y > fonksiyonuna V üzerinde bir iç çarpım V ye de iç çarpım uzayı denir. Bu iç çarpım uzayı (V, < , >) ile gösterilir.

• (i) Her x, y ∈V için < x, y > = < y, x >
• (ii) Her x, y, z ∈V için < x, y + z> = < x, y > + < x, z >
• (iii) Her x, y ∈V , c∈ R için < cx, y > = c< x, y > = < x, cy >
• (iv) Her x ∈V için < x, x > ≥ 0 ; < x, x > = 0 ⇔ x = 0

Tanım 13: (𝑅𝑛 de iç çarpım): x, y ∈ R için x = (x1 , x2 , …, xn) , y = (y1 , y2 , …, yn) olsun. x ve y vektörlerinin iç çarpımı < x, y > = 𝑥1 𝑦1+𝑥2𝑦2+𝑥3𝑦3+ … + 𝑥𝑛𝑦𝑛 biçiminde tanımlanır. Karşılıklı gelen elemanlar çarpılır. Çıkan sonuçlar toplanarak bir çıktı elde edilir.

Örneğin:  R³ uzayındaki x=(4, -2, 1) ve y=(1, 3, -3) vektörlerinin iç çarpımını hesaplayınız. <x,y>=?

Cevap: <x,y>=4.1 + (-2).3 + 1.(-3)=4+(-6)+(-3)=4-9=><x,y>=-5

Vektörlerde İç Çarpım (Skaler Çarpım) Özellikleri

Aşğıdaki u,v ve w harfleri vektörleri, k harfi skaleri temsil etmektedir.

• I. 𝑢. 𝑣 = < 𝑢, 𝑣 >          Vektörlerde iç çarpım (skaler çarpım) bu iki şekilde de ifade edilebilir.
• II. 𝑢. 𝑣 = 𝑣. 𝑢                  Vektörlerde iç çarpım (skaler çarpım) da  değişme özelliği çalışır. (vektörlerin yerleri değiştirilebilir. Sonuç değişmez.)
• III. 𝑢. (𝑣 + 𝑤) = 𝑢. 𝑣 + 𝑢. 𝑤      Vektörlerde iç çarpımda (skaler çarpım) çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği vardır.
• IV. k. (𝑢. 𝑣) = (k. 𝑢). 𝑣 = 𝑢. (k. 𝑣)         Vektörlerde iç çarpımda (skaler çarpım) , skaler bir sayı  (k) ile çarpılıyorsa sadece u vektörü ile yada v vektörü ile çarpılırsa sonuc üzerinde değişiklik olmaz. (ikisi ile birden çarpılmaz. vektörlerden sadece biri ile çarpılır.
• V. 𝑢. 𝑢 = |𝑢|2             vektörlerde iç çarpımda (skaler çarpım), aynı vektörün iç çarpımı normunun karesine eşittir.
• VI. 𝑢 ⊥ 𝑣 <=> 𝑢. 𝑣 = 0             ┴ (ters T ) Aralarına girdiği doğruların yada vektörlerin birbirine dik olduğunu belirtir. İki vektör birbirine dik ise iç çarpımı 0 oluyor. Aynı şekilde iç çarpımı 0 olan vektörler birbirine diktir.
• VII. |𝑢. 𝑣| ≤ |𝑢|. |𝑣|                  u ve v vektörlerinin içi çarpımından çıkan sonucun normu, tek tek bu normlarının çarpımından çıkan sonucun normundan küçük yada eşittir. Buna üçgen eşitsizliği denir.
• VIII. 0. 𝑢 = 0                Herhangi bir vektör 0 vektörü ile çarpılır ise 0 vektörü sonucunu verir.

İki Vektör Arasındaki Açı

Aşağıdaki A ve B nin üzerinde ok olmaz ise nokta olarak değerlendirilir. Üzerinde ok varsa vektör olarak değerlendirilir.

HAFTA 4: NORM VE İÇ ÇARPIM

Geçmiş yıllarda sınavlarda çıkan sorular.

Örneğin: u vektörü= (2, 4) ve v vektörü= (-1, 3) olduğuna göre <u, v> = ? iç çarpımının sonucunu bulunuz. Cevap: < u, v> = (2, 4) . (-1, 3) = -2 + 12 = 10 bulunur.

Örneğin: u vektörü= (-2, 1) ve v vektörü= (1, 2) olduğuna göre <u, v> = ? işleminin sonucunu bulunuz. Cevap: < u, v> = -2 + 2 = 0 bulunur.

Örnek:

A = (1, 3),        B = (3, 4-a),                 C = (5, 3),        D = (b-2, 4) AD vektörü=BC vektörü olduğuna göre a+b = ? işleminin sonucu kaçtır? Cevap: AD = ((b – 2) – 1, 4 – 3) = b – 3, 1 BC =5 – 3, 3 – ( 4 – a ) = 2, 3 – 4 + a = 2, -1 + a

AD = BC => b – 3, 1 = 2, a – 1 => b – 3 = 2 => b = 5  1 = a – 1 => a = 2 a + b = 2 + 5 = 7 

Örneğin: 𝐴 vektörü= (2𝑥 + 𝑦 + 1, −3), 𝐵 vektörü= (3, 3𝑥 + 2𝑦 – 4) ve 𝐴 vektörü=𝐵 vektörü Olduğuna göre, 𝑇 vektörü= (𝑥 + 2, 3𝑦) vektörünü bulunuz.

Cevap: A = B => (2x + y + 1, -3) = (3, 3x + 2y – 4) => 2x + y + 1 = 3 ve 3x + 2y -4 = -3 olur. İlk denklemin iki tarafını -2 ile çarptıktan sonra iki denklemi taraf tarafa toplarsak  (-4x – 2y – 2 = -6) + ( 3x + 2y -4 = -3) -x – 6 = – 9 => x = 3 bulunur. 2x + y + 1 = 3 denkleminde yerine konursa 6 + y +1 = 3 => y = -4 bulunur.  T vektörü= (x + 2, 3y ) = ( 3 + 2, -12 ) = (5, -12) bulunur.

Örneğin:

Cevap:  F) Doğru cevap yok yani

İKİ VEKTÖR TOPLANIRKEN paralelkenar yöntemi ile toplanabiliyor. AB vektörü ile CD vektörünü toplamak için; CD vektörünün başlangıç noktası AB vektörünün bitiş noktasına getirilerek CD vektörünün doğrultusu değiştirilmeden AB vektörünün üstüne eklenir. A ve D noktaları birleştirilerek yeni vektör bulunur. Bu iki vektörün toplamı oluyor.

İKİ VEKTÖR ÇIKARILIRKEN; çıkarılan vektörün ( burada CD ) zıttı alınır. Bileşen olarak, yön olarak, açısal hepsinin zıttı alınıyor. CD vekötürü tersine çevrilir. Burada, CD vektörünün başlangıç noktası AB vektörünün bitiş noktasına noktasına konur. CD vektörü B noktasından 4 birim sola, 3 birim aşağı götürülür. A noktasından varılan yeni noktaya vektör çizilir. bu yeni vektör çıkarma sonucunda bulunan vektördür.

AB vektörü= (2, 2)  CD vektörü= (4, 3) AB – CD = (4 – 2, 3 – 2) = (2, 1 )

yada (2- 4, 2 – 3) = -2, -1 bulunur yani A noktasından sola 2 birim, A noktasından aşağıya 1 birim gidilecek.

Örnek

Cevap: A)

a vektörüne b vektörü eklenir. b vektörü a vektörünün bitiş noktasına konur. 2 birim sağa, 4 birim aşağı alınır. Bulunan yeni noktadan c vektörü çıkarılır. Bunun için; 6 birim sola, 2 birim aşağı götürülür. Bulunan yeni vektör, a vektörünün başlangıç noktasından aşağıya 3 birim olan vektördür. Doğru cevap A) şıkkıdır.

Vektör SAĞA gidiyorsa POZİTİF, SOLA gidiyorsa NEGATİF, YUKARI gidiyorsa pozitif, AŞAĞIYA gidiyorsa NEGATİF tir.

a vektörü= (4, 3) b vektörü= (2, -4) c vektörü= (6, 2)

a + b – c = (4 + 2, 3 + (-4)) -( 6, 2) = 6, -1) – (6, 2) = (0, -3) buda başlangıç noktasından 3 birim aşağıya gidecek demektir. Yani yatay da sağa sola gitmeyecek. Düşeyde de aşağıya 3 birim inecek demektir.  

Örnek:

Cevap: E) A) doğrudur. B) doğrudur. C) doğrudur. D) doğrudur. E) yanlıştır. sola doğru 3 birimdir.  Doğru cevap E) şıkkıdır. Yani E) şıkkı yanlıştır.

Örnek:

Cevap: A) a vektörünün bitiş noktasından, b vektörü sağa 1 birim, aşağıya 4 birim gidilir. Bulunan noktadan c vektörü sola 6 birim, aşağıya 2 birim gidilir. a vektörünün başlangıç noktasından yeni bulunan noktaya olan vektör, toplam sonucu olan vektördür. a vektörünün başlangıç noktasından sola 2 birim aşağıya 4 birimdir. Yani doğru cevap A) şıkkıdır. 

Örnek:

Cevap: D) vektörünün bitiş noktasından b vektörü aşağıya 3 birim gidilir. Bulunan noktadan c vektörü sağa 3 birim gidilir. a vektörünün başlangıç noktasından yeni bulunan noktaya olan vektör, toplam sonucu olan vektördür. a vektörünün başlangıç noktasından sağa 6 birimdir. c vektörü 3 birim olduğu için buda 2c eder. Yani doğru cevap D) şıkkıdır. 

Örnek

Analitik düzlemde A vektörü= (6, 3) ve B vektörü= (4, -2) vektörleri veriliyor. Buna göre AB vektörünün konum vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

1. (2, 5)   B) (-2, 5)          C) (2, -5)          D) (-2, -5)        E) (-5, -2)

Cevap: D) AB vekötrünü bulmak için B- A yapıyoruz. AB vektörü = (4 – 6, -2-3) = (-2, -5) Cevap D) şıkkıdır.

Örnek: Analitik düzlemde şekilde verilenlere göre BA vektörünün konum vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

1. (4, -2)              B) (-4, 2)          C) (-4, -2)         D) (2, 1)           E) (4, 2)

Cevap: B) Grafiğin bu şekli vektörün B den A ya gittiğini gösterir. BA vektörünün yatay bileşeni (x) bulmak için sola 4 birim gidilir, yani -4. Düşey bileşenini (y) bulmak için yukarı 2 birim gidilir. Yani 2 

A vektörü= (2, 3) dür. B vektörü= (6, 1) dir. BA vektörü= (2, 3) – (6, 1) = (-4, 2)

Örnek: Şekilde analitik düzlemde AB vektörünün konum vektörü verilmiştir. B vektörü= (2, 8) olduğuna göre, A vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

1. (-1, 3)              B) (-1, -3)         C) (3, -1)          D) (5, 2)           E) (3, -2)

Cevap: A) Konum vektörü demek başlangıcı orijinde olan vektör demektir. B vektörü= (2, 8) verilmiş.

AB vektörü= (3, 5) dir.

AB vektörü= B – A idi => (3, 5) = (2, 8) – A => A = (2, 8) – (3, 5) => A = (-1, 3) bulunur.

Örnek: Analitik düzlemde A vektörü= (9, 21) olarak veriliyor. Buna göre, (1/3)A vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

1. (3, 9)               B) (3, -9)          C) (3, 7)           D) (7, 3)           E) (-3, -7)

Cevap: C) A vektörünün 3 te birini al diyor. Bu da 9 /3 = 3 ve 21 / 3 = 7 bulunur.  1/3A = (3, 7) dir.

Örnek: Analitik düzlemde A vektörü= (6, -2) ve AB vektörü= (8, 4) vektörleri veriliyor. Buna göre, 3B vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

1. (42, 6)             B) (6, 42)         C) (21, 3)         D) (6, 4)           E) (24, 12)

Cevap: A) AB vektörü= B – A vektörü olduğu için, Hangisinden 6 çıkarılırsa 8 sonucunu verir. Cevap 14. Hangisiinden -2 çıkarılırsa 4 sonucunu verir. Cevap 2. B vektörü= (14, 2) bulunmuş olur. 3 ile çarparsak (42, 6) bulunur. AB vektörü = B- A idi => (8, 4) = B – (6, -2) => B = ( 8, 4 ) + ( 6, -2 ) = ( 14, 2 ) bulunur.

=> 3B vektörü= (42, 6) bulunur.

Örnek: Analitik düzlemde A vektörü= (2, m+3) ve B vektörü= (n-1, 9) vektörleri veriliyor. A =B vektörü olduğuna göre, m+n toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

1. 3          B) 4                 C) 6                 D) 8                 E) 9

Cevap: E) A vektörü=B vektörü ise (2, m+3 ) = ( n-1, 9 ) olur => n-1 = 2 ve m+3 = 9 olur. n = 3 bulunur ve m = 6 bulunur. m + n = 9 bulunur.

HAFTA 5: LİNEER BAĞIMLILIK VE LİNEER BAĞIMSIZLIK

Skaler Çarpımın Geometrik Yorumu

Aşağıdaki u ve v harfleri vektör ifade etmektedir.

1. İki vektör birbirine dik (ortogonal) ise 𝜃 = 𝜋/2 olup, 𝑢. 𝑣 = |𝑢| . |𝑣| . cos 𝜃 = 0      𝜋 = 180° derecedir. Yani 1/2 dir. Vektörler bir nokta değilse 0 çıkmasını bekleyemeyiz. vektörlerin 0 dan büyük değerler olduğunu varsayarsak. eşitliğin sağ tarafının 0 olması için cos in 0 olması gerekir. bu vektörlerin arasındaki açının 90° olması gerekir. cos 90° =0 dır. eşitliğin sağ tarafının 0 olması için ya vektörlerden birinin nokta vektörü olması yada açının 90­° olması gerekir.

2. İki vektörün yönleri aynı ise 𝜃 = 0 olup, 𝑢. 𝑣 = |𝑢| . |𝑣|  . cos 𝜃 = |𝑢| . |𝑣|             Aralarında bir açı olmadığı için açı değeri 0 olacaktır. açı 0 olduğunda cos 0= 1 e eşit olacaktır. Bu durumda eşitlik sağlanacaktır.

3. İki vektörün yönleri zıt ise 𝜃 = 𝜋 olup, 𝑢. 𝑣 = |𝑢| . |𝑣| . cos 𝜃 = -|𝑢| . |𝑣|               Vektörler zıt olduğunda cos 180° = -1 dir.

Birim Vektör

Analitik düzlemde belirtilen bir 𝐴 vektörü için 𝐴 vektörü ile aynı yönlü birim vektör, 𝐴 / |A| ile ifade edilir.

Birim vektör, boyu 1 birim olan vektör anlamına gelir. Bir yapının birim vektörü ilgili yapının aynı doğrultusunda ve aynı yönünde olmalı.

Birim vektör; esas vektörden yola çıkıp birim vektörü elde etmektir. Esas vektörün x ve y bileşenlerini ayrı ayrı esas vektörün normlarına (yani boylarına) bölmemiz gerekiyor.

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık

Düzlemde verilen (ℝ²): 𝑢 = (𝑥, 𝑦) 𝑣𝑒 𝑣 = (𝑚, 𝑛) vektörlerinin lineer bağımlı olması için gerek ve yeter şart

şeklinde belirtilebilir ve daha özel biçimde, ikiye ikilik determinant yapısında 2 şart vardır. det= x*n – y*m olduğundan x*n – m*y= 0 olması gerekiyor ise x.n = m.y olduğunu gösterir ise x.n / n.m = m.y / n.m => x/m=y/n olur.  

 şeklinde belirtilebilir. Determinantlarının sıfıra eşit olması gerekir.

Dikkat: x m’ nin kaç katı ise y de n nin aynı katıdır.  Yada m x’ in kaç katı ise n de y’nin aynı katıdır.

• Doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır.
• Doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır.
• Yönleri zıt olan iki vektör lineer bağımlıdır.

Not: Doğrular R ile belirtilir. Düzlem diyarsa R² ‘den, uzay diyorsa R³ den bahsediyor demektir. R (doğru) ‘ da tek bileşen, R² (düzlem) ‘de iki bileşen, R³ (uzay) de üç bileşen vardır.

Örnek: u vektörü =(3,5) ise v vektörü ile lineer bağımlı olması için v vektörü =(6,10) olmalı.

Lineer Bileşim

Düzlemde (ℝ2): 𝑢 vektörü= (𝑥, 𝑦) 𝑣𝑒 𝑣 vektörü= (𝑚, 𝑛) ve 𝑡1 𝑣𝑒 𝑡2 birer skaler sayı belirtmek üzere,

𝒕𝟏 . 𝒖+ 𝒕𝟐 . 𝒗 şeklinde elde edilen veköre u ve v vektörlerinin lineer bileşimi denir. Bir vektör, aynı doğrultuda olan veya olmayan herhangi iki ya da daha fazla vektörün lineer bileşimi olarak yazılabilir.

u ve v vektörleri lineer bağımlı olmak zorunda değil. olabilirde.

Örnek: t1=3,  t2= -2, u vektörü= (2,5), v vektörü=(-1,3) olsun. t1. u + t2. v => 3. (2,5) + (-2). (-1,3) => (6,15) + (+2,-6) = (8,9) olur.  3.(2,5) + (-2). (-1,3)

bu kısımdan sonra; (6,15)-2. (-1,3) = (6,15) – (-2, 6) = (8,9) bulunur.

Vektörel Çarpım

Tanım 15: Sıfırdan farklı 𝑢 ve 𝑣 gibi iki vektörün vektörel çarpımı,

𝒖 𝚲 𝒗 ya da 𝒖 𝐱 𝒗 ile gösterilir. 𝒘 = 𝒖 𝚲 𝒗 = 𝑒 |𝑢| . |𝑣| . Sin 𝜃

Kırmızı olan vektör (0,1) vektörüdür. v vektörü (1,0) vektörüdür. Vektörel çarpımın sonucu Vektörel bir değerdir. Vektörel değer skaler bir değere dönüştürelebilir. Doğrultusu 𝑢 ve 𝑣 vektörlerinin oluşturduğu düzleme diktir.

Örnek: u = (3,4) ve v =(5,12) olsun. sin30= 1/2 dir.

u x v = e. |u|.| v|.Sin 𝜃 = e. 5.13.1/2= e.32,5 bulunur. Vektör y doğrultusunda olduğu için (0,1) ile çarpılır.  u x v = (0,1).65/2 => u x v = (0,65/2) bulunur. skaler bir değer olan yapı vektöre dönüştürüldü.

𝑢 ve 𝑣 vektörleri düzlemde bir paralelkenar tanımlar. Paralelkenarın alanı A olsun. Bir üstteki şekilden görülebileceği gibi h = |𝑢|. Sin 𝜃 |𝑣|: paralelkenarın tabanı

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍 𝒌𝒆𝒏𝒂𝒓𝚤𝒏 𝒂𝒍𝒂𝒏𝚤: |𝑢| .|𝑣| . Sin 𝜃

Bu Parelel kenarın alanını (0,1) yada (1,0) ile çarptığımızda vektör elde ediyoruz.

Sonuç: 𝑢 ve 𝑣 vektörlerinin vektörel çarpımından elde edilen,

 𝒘 = 𝒖 𝚲 𝒗 = 𝑒 |𝑢|. |𝑣| . Sin 𝜃      (vektörel çarpımı bulmak için kullanılır.)

Vektörünün uzunluğu, |𝑢|. |𝑣|. Sin 𝜃    (Skaler alanı bulmak için kullanılır.)

𝑢 ve 𝑣 vektörlerinin oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir.

HAFTA 6: METRİK KAVRAMI

Metrik Nedir?

𝑋 ≠ ∅ bir küme olmak üzere,

𝑓: 𝑋𝑥𝑋 → 𝑅     (f fonksiyonu, X kartezyen X den R ye tanımlanmış demektir.)

fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlıyorsa, 𝑓 fonksiyonuna 𝑋 üzerinde bir metrik denir.

• D1) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦
• D2) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝑖ç𝑖𝑛 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑦, 𝑥) (𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖)
• D3) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 𝑖ç𝑖𝑛 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝑓 (𝑧, 𝑦) (üç𝑔𝑒𝑛 𝑒ş𝑖𝑡𝑠𝑖𝑧𝑙𝑖ğ𝑖)

Ayrıca bazı kaynaklarda belirtildiği üzere 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≥ 0 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑚𝑎 ş𝑎𝑟𝑡𝚤)’da D4 şartı olarak karşımıza çıkmaktadır.

Türk Dil Kurumu kapsamında ele alındığı vakit metrik kelimesi, ‘Ölçümlü’ biçiminde ifade edilen bir sözcüktür.

Metrik, metreyle ve metreyi temel olarak alan ölçülerle ilgili.

Uzunluk için metre ve ağırlık için kilogram temel birimlerine dayalı, uluslararası kabul görmüş ondalık tabanlı ölçüm sistemidir.

D3) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 𝑖ç𝑖𝑛 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝑓 (𝑧, 𝑦)

Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgenin kenarları a, b ve c olsun;

|b-c|< a < b + c ,          |a-c| < b < a + c          ve  |a-b| < c < a + b dir.

Üçgen kenarlarından biri, diğer iki kenarın toplamından küçük ve diğer iki kenarın farkından büyük olmalıdır.

Örnek: Bir çubuk rastgele üç parçaya ayrılıyor İlk parça a= 10 cm, ikinci parça b= 8 cm olduğuna göre;

Çubuğun uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre,

1. Çubuğun parçalara ayrılmadan önceki boyu en az kaç cm?
2. Çubuğun parçalara ayrılmadan önceki boyu en çok kaç cm?

Cevap:  a=10 ve b=8 => |a-b| < c < a + b =>10-8 < c < 10 + 8 => 2 < c < 18 bulunur. Bu da c’nin (bilinmeyen kenar) en küçük 3 en büyük 17 olması demektir.

1. Boyu En az: 10 + 8 + 3 = 21 bulunur.
2. Boyu En çok: 10 + 8 + 17 = 35 bulunur.

Örnek: Bir çubuk rastgele üç parçaya ayrılıyor. Ayrılan parçalar ile bir üçgen oluşma olasılığı nedir?

Cevap: En az 0, en fazla 1 üçgen olma olasılığı vardır.

Üçgen Kenarlarini Rastgele Seçme Programi: Python ile

import random 

x = 25
sayac1 = 0
deney = 1000000             # deney sayısı

for i in range(deney):                # for i in range ile deneyin içinde geziyor.      
    a = round(random.uniform(0, x), 2)      # rastgele sayı seçiyor.
    b = round(random.uniform(0, (x - a)), 2) 
    c = round(x - (a + b), 2)

    if abs(b-c) < a < (b + c): # seçilen sayıların üçgen oluşturması koşulu
        sayac1 = sayac1 + 1    # seçilen sayılardan üçgen oluşturan sayıları sayıyor.

olasilik = round(((sayac1/deney)*100),2)  # seçilen sayıların üçgen oluşturma olasılığı 

print(" % ", olasilik)

Metrik Çeşitleri

Minkowski Uzaklığı: Genellikle p=1 veya p=2 olduğunda ortaya çıkan uzaklık fonksiyonuna verilen isimdir. p=1 için

olur.

Örnek: X(1, 2, 3)  ve  Y(0, 2, 4) => d(X, Y)=(|1-0|+|2-2|+|3-4|) = 1 + 0 + 1 = 2 br olur.

Minkowski Uzaklığı (p=1): Manhattan Uzaklığı

p=1 için. Karekökü alınmıyor. Farklarının mutlak değerinin toplamı alınıyor.

p=1 olduğunda ortaya çıkan uzaklık fonksiyonuna verilen isimdir. p=1 için

Kökün p → ∞ sonsuza gitmesi demek, kesin bir değer bulunamaz, yaklaşık bir değer bulunur demektir.  max i |xi-yi| x ve y bileşenlerinin farklarının mutlak değeri bulunur. Bulunan en yüksek mutlak değer Chebyshev uzaklığını verir.

Bu durumda Minkowski uzaklığı, Chebyshev uzaklığı ismini almaktadır.

Örnek: X = (1, 1, 2, 0, 3) ve Y = (2, 3, 1, 1, 2)        olmak üzere 𝑑(𝑋, 𝑌) Chebyshev uzaklığını bulunuz.

Cevap: 𝑑(𝑋, 𝑌) = max i |xi -yi| = d(X, Y) = |1-2| + |1-3| + |2-1| + |0-1| + |3-2| => d(X, Y) = 1+2+1+1+2 den d(X, Y) = 2 bulunur.

• Minkowski Uzaklığı (p=1): Manhattan Uzaklığı
• Minkowski Uzaklığı (p=2): Öklid Uzaklığı
• Minkowski Uzaklığı (p->∞): Chebyshev Uzaklığı

Örnek: Bir veri setinde A=(0, 1, 2, 3, 4), B=(1, 0, 1, 2, 3), C=(2, 1, 0, 1, 2), D=(3, 2, 1, 0, 1) ve E=(4, 3, 2, 1, 0) nesnelerine yönelik değerler bulunmaktadır. Bu nesnelere ait her bir veriyi barındıran vektörü ilgili verinin vektör temsili olarak düşünebiliriz.

Bu veri setinde her bir veri çifti arasındaki mesafe (uzaklık) hesaplandığında bu değerler nasıl yorumlanabilir?

Cevap: Aralarındaki mesafe birbirlerine ne kadar benzediklerini yada benzemediklerini gösterir. İki nesne arasındaki mesafe kadar küçükse o kadar birbirine benziyorlar, ne kadar uzak ise o kadar birbirine benzemiyorlar.

Örnek: A=(0, 1, 2, 3, 4), B=(1, 0, 1, 2, 3), C=(2, 1, 0, 1, 2), D=(3, 2, 1, 0, 1) ve E=(4, 3, 2, 1, 0) veri setleri veriliyor. Öklid metriğine göre matrisini hesaplayınız

d(x,y)	A	B	C	D	E
A	0	2,236	4,000	5,385	6,325
B	2,236	0	2,236	4,000	5,385
C	4,000	2,236	0	2,236	4,000
D	5,385	4,000	2,236	0	2,236
E	6,325	5,385	4,000	2,236	0

HAFTA 7: METRİK KAVRAMI VE UYGULAMALARI

Üçgen Eşitsizliği

Python program uygulaması yapıldı.

Üçgen Kenarlarini Rastgele Seçme Programi: Python ile

import random 

x = 25
sayac1 = 0
deney = 1000000             # deney sayısı

for i in range(deney):                # for i in range ile deneyin içinde geziyor.      
    a = round(random.uniform(0, x), 2)      # rastgele sayı seçiyor.
    b = round(random.uniform(0, (x - a)), 2) 
    c = round(x - (a + b), 2)

    if abs(b-c) < a < (b + c): # seçilen sayıların üçgen oluşturması koşulu
        sayac1 = sayac1 + 1    # seçilen sayılardan üçgen oluşturan sayıları sayıyor.

olasilik = round(((sayac1/deney)*100),2)  # seçilen sayıların üçgen oluşturma olasılığı 

print(" % ", olasilik)

HAFTA 8: PARALELLİK KAVRAMI VE ŞARTLARI

Düzlemde Paralellik Şarti: ℝ²

Tanım: 𝑢, 𝑣 𝜖 ℝ², 𝑢 ≠ 0 ve 𝑣 ≠ 0 olsun.

∃𝑐𝜖 ℝ, 𝑣 = 𝑐. 𝑢          önermesi doğru ise 𝑣 vektörü 𝑢 vektörüne paraleldir denir ve 𝑢 ∥ 𝑣  şeklinde gösterilir.

Düzlem = R² (iki boyutlu uzay). R² x ve y koordinatları olan 2 boyutlu düzlemdir.  u ve v vektörleri R² nin elemanları ise u ve v vektörleri iki boyutlu demektir. u = (3,5) gibi R³ deseydi 3 boyutlu olacaktı. 

Ters E en az bir demektir.  c skaler bir sayıdır.   v=c.u demek v vektörü, u vektörünün c katıdır demektir. v=c.u => v | |u   demektir.

u (3, 2) ve c=7 => v=c.u => v=7(3, 2) = (21, 14) demektir. u=(2, 1) ve v=(6, 3) => v=3.u olduğu için u || v dir. u v vektörüne paraleldir.

Örnek: u= (2,7) ve v = (1, 3)  vektörleri paralel midir (yada katı mıdır).

Cevap: 7/2 = 3/1 olmadığı için paralel değildirler.

Örnek: u= (1, 2) ve v=(3,4) ise u ve v vektörleri paralel midir?

Cevap: 1/2 = 3/4 yada 2/1= 4/3 olmadığı için paralel değildirler.

Paralellik ile İlgili Özellikler

Bir L doğrusuna paralel olan sıfırdan farklı bir vektöre, L doğrusunun bir doğrultman vektörü denir. Doğrultman vektör = paralel vektör.

Örnek:

ax + by + c = 0 ve dx + ey + f =0 dır. Doğru denklemlerinin eğimlerini bulunuz. Grafik üzerinde sayısal bir örnek ile gösteriniz.

Cevap: x ‘in yerine 0 verip y ‘yi buluyoruz. y ‘nin yerine 0 verip x ‘i buluyoruz.

 2x – 3y + 6 =0 denkleminde x = 0 olsun y = 2 olur. Doğrunun (0, 2) noktası bulunur.

2x – 3y + 6 =0 denkleminde y = 0 olsun x = -3 olur. Doğrunun (-3, 0) noktası bulunur. Bunlar turuncu doğrunun noktalarıdır.

4x + y + 4 =0 denkleminde x = 0 olsun y = 4 olur. Doğrunun (0, 4) noktası bulunur.

4x + y + 4 =0 denkleminde y = 0 olsun x = 1 olur. Doğrunun (1, 0) noktası bulunur. Bunlar kırmızı doğrunun noktalarıdır.   

6x – 9y = 0 denkleminde x = 0 olsun y = 0 olur. Doğrunun (0, 0) noktası bulunur.

6x – 9y = 0 denklemini sağlayacak rastgele sayı veiryoruz. x = 1 olsun. y = 6/9 = 2/3 olur. (1, 6/9) noktası bulunur. Bunlar Antrasit doğrunun noktalarıdır.

Şimdi çizilen doğruların paralelliğine bakılacak.

• Turuncu Doğrusunun Denklemi:      2x – 3y + 6 = 0
• Kırmızı Doğrunun Denklemi:            4x + y – 4 = 0
• Antrasit Doğrunun Denklemi:           6x – 9y = 0

Turuncu Doğru ile Kırmızı Doğru paralel mi:  Turuncu 2x iken 2 katına çıkmış 4x olmuş. Kırmızı -3y iken +y olmuş 2 katına çıkamamış. Turuncu ile Kırmızı Doğru paralel değildir.

Turuncu Doğru ile Antrasit Doğru paralel mi:  Turuncu 2x iken 3 katına çıkmış 6x olmuş. Antrasit -3y iken 3 katına çıkmış  -9y olmuş. X ve y 3’er kat artmış. Turuncu ile Mavi Doğru paraleldir.

Kırmızı Doğru ile Antrasit Doğru paralel mi: Kırmızı 4x iken 3/2 katına çıkmış 6x olmuş. Antrasit y iken -9y olmuş 3/2 katına çıkamamış. Turuncu ile Antrasit Doğru paralel değildir.

Doğrunun ucu sağa yatık yani sağı gösteriyor ise, Oluşan eğime Pozitif Eğim denir.

            Turuncu ve Antrasit doğru pozitif eğimdir.

Doğrunun ucu sola yatık yani solu gösteriyor ise, Oluşan eğime Negati Eğim denir.

            Kırmızı Doğru negatif eğimdir.

Bu doğruların eğimi ölçülmek istenirse x ve y ‘lerin önündeki katsayılarına bakılır. X ‘in önündeki katsayı a katsayısı, y ‘nin önündeki katsayı b katsayısıdır. a / b yapılır, önüne (-) konur. Ortaya çıkan eğimdir. M1= eğim

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Eğimleri eşit olan doğrular birbirine paraleldir.

Eğim arttıkça doğru y eksenine paralelliğine yaklaşıyor.

Örnek: ax +by + c = 0 ve dx + ey + f = 0 dır. Doğru denklemlerinde paralellik şartını gösteriniz. Doğrultman yer vektörünü sayısal bir örnek ile yardımıyla gösteriniz.

Cevap:

x – 2y + 2 = 0 denkleminde doğrunun eğimi =1/2 dir.

3x – 6y + 12 = 0 denkleminde doğrunun eğimi=1/2 dir.

Bu iki doğru birbirine paraleldir.

x- 2y +2 = 0 ve 3x – 6y +12 = 0 denklemlerinin sonundaki 2 ve 12 yi çıkarırsak. Eğimleri değişmez. Bu denklemlerdeki 2 ve 12 doğrultusu vektörlerin yönünü doğrultusunu değiştirmeden 2 boyutlu uzaydaki yerini değiştiriyor.

x- 2y +2 = 0 denklemindeki 2’yi çıkarırsak x -2y = 0 dan x =2y bulunur.

Bu y ‘deki değerlerin x ‘deki değerlerin 2 katı olacak noktalar var.

Bu vektörlerin birim vektörü olarak 2/√5,1/√5 bulunur.

HAFTA 9: VEKTÖR UZAYI

V boş olmayan bir küme ve K bir cisim olsun Aşağıdaki önermeler doğru ise, V kümesi K cismi üstünde bir vektör uzayıdır.

V 1 – V kümesinde toplama işlemi tanımlıdır. (V, +) değişmeli gruptur

1. ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ V => u+v ∈ V (kapalılık) R² de yani düzlemde 2 vektör toplanıyorsa R³ 3 boyuta geçemez.
2. ∀ 𝑢, 𝑣, w ∈ V => (u+v)+w = u+(v+w) (birleşme) 3 vektörü toplarken hangisinin önce toplandığının önemi yoktur. Sonuç aynı olur.
3.  ∃ 0 ∈ V ve ∀ u ∈ V için 0 + u = u +0 =u (birim eleman) 0 vektörü toplama için birim eleman etkisiz elemandır. Bir vektörü 0 sıfır vektörü ile toplarsan sonuca etki etmez.
4.  ∀ 𝑢 ∈ V için u+(-u)=(-u)+u=0 (ters eleman) Bir vektörün tersi (–) vektördür. Bir vektörü ters vektörü ile toplarsan sonuç o noktası olur.
5.  ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ V => u+v=v+u (değişme) U yada v vektörünü yazıp toplaman sonucu etkilemez.

V2 – 𝐾 𝑥 𝑉→𝐾, (𝑎, 𝑢) → 𝑎𝑢 biçiminde skalerle çarpma işlemi tanımlıdır

1. ∀ a ∈ V ve ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ V için a(u+v)=au+av (u ve v vektörlerinin toplamını  bir skaler ile çarparsan hem u vektörünü hemde v vektörünü skaler ile çarpmış olursun.)
2. ∀ a, b ∈ K ve ∀ 𝑢 ∈ V için (a+b)u=au+bu (bir vektörü iki skalerin toplamı ile çarpmak yerine, bu vektörü bu iki skalerle ayrı ayrı toplayabilirsin)
3. ∀ a, b ∈ K ve ∀ 𝑢 ∈ V için (ab)u=a(bu) ( (3.5)u yerine 3(5u) yazabilirsin demek.)
4. K nın çarpmaya göre birim elemanı 1 ve ∀ 𝑢 ∈ V için 1u=u  (skalerle çarpımda 1 etkisiz elemandır. Bir vektörü 1 ile çarparsan sonuç değişmez.)

Alt Vektör Uzayi

V, K cismi üstünde bir vektör uzayı ve H, V’nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Aşağıdaki iki önerme doğru ise, H kümesi V’nin bir alt vektör uzayıdır.

1. ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝐻 (H kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.)
2. ∀𝑐 ∈ 𝐾 ve ∀𝑢 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑐𝑢 ∈ 𝐻 (H kümesi skalerle çarpma işlemine göre kapalıdır.)

Örneğin R³ de R² ‘de iki vektörün toplamında ve bir vektörün skalerle çarpımında kapalılık özelliği devam ediyorsa Buna alt vektör uzayı deniyor.

Örnek: 𝐻 = {(𝑝, 2𝑝): 𝑝 ∈ 𝑅} Eşitliği ile verilen H kümesinin bir alt vektör uzayı olduğunu gösteriniz.

Cevap: 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑢 = (𝑎, 2𝑎) 𝑣𝑒 𝑣 = (𝑏, 2𝑏) ⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑎 + 𝑏, 2𝑎 + 2𝑏) ⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑎 + 𝑏, 2(𝑎 + 𝑏))

𝑎 + 𝑏 = 𝑡 𝑜𝑙𝑠𝑢𝑛. ⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑡, 2𝑡) 𝑐 ∈ 𝑅 𝑣𝑒 𝑢 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑐. 𝑢 = 𝑐. (𝑝, 2𝑝) ⇒ 𝑐. 𝑢 = (𝑐𝑝, 2𝑐𝑝)

𝑐𝑝 = 𝑚 𝑜𝑙𝑠𝑢𝑛. ⇒ 𝑐. 𝑢 = (𝑚, 2𝑚) 𝐻={(𝑝,2𝑝): 𝑝∈𝑅}        (Birinci eleman, ikinci elamanın 2 katı olacak ve verilen sayılar reel sayıların elemanı olacak.) Bu yapı, toplamada yapsan, çarpmada yapsan korunmaya devam ediyorsa alt vektör uzayı var deniyor.

Teorem:

V bir vektör uzayı ve ∅ ≠ 𝐻 ⊆ 𝑉 olsun. H’nin alt vektör uzayı olması için gerek ve yeter koşul,

∀𝑐 ∈ 𝐾, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝐻 𝑖ç𝑖𝑛, 𝑢 + 𝑐𝑣 ∈ 𝐻     Önermesinin doğru olmasıdır.

𝑢, 𝑣 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑢 = (𝑎, 2𝑎) 𝑣𝑒 𝑣 = (𝑏, 2𝑏) ⇒ 𝑢 + 𝑐𝑣 = (𝑎 + 𝑐𝑏, 2𝑎 + 2𝑐𝑏) ⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑎 + 𝑐𝑏, 2(𝑎 + 𝑐𝑏))

𝑎 + 𝑐𝑏 = 𝑡 𝑜𝑙𝑠𝑢𝑛. ⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑡, 2𝑡)

Lineer Bileşim

Teorem:

V, K cismi üzerinde bir vektör uzayı ve E, V’nin sonlu bir alt kümesi olsun.

𝐸 = {𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛} Olduğunu varsayalım. K cisminden herhangi 𝑐1, 𝑐2, …, c𝑛 elemanları alınarak elde edilen, 𝑐1𝑎1 + 𝑐2𝑎2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑎𝑛 Vektörüne E kümesinin bir lineer bileşimi denir.

Örnek: 𝑅³ uzayında tanımlanmış, 𝑎1 = (1, −2, 3)         𝑎2 = (−2, 1, −1) Vektörleri için, 𝑐1 = 2 𝑣𝑒 𝑐2 = 3 için lineer bileşim vektörünü hesaplayınız.

Cevap: 𝑐1𝑎1 + 𝑐2𝑎2

2.(1, -2, 3) + 3. (-2, 1, -1) = (2, -4, 6) + (-6, 3, -3) = (-4, -1, 3) bulunur.

Üreteç

Tanım: 𝐸 = {𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛} E kümesinin tüm lineer bileşimlerinin kümesi 𝐸* ile gösterilirse, 𝐸* uzayına, 𝐸 ‘nin gerdiği (ürettiği) alt vektör uzayı denir. 𝐸 kümesine de 𝐸* vektör uzayının bir üreteci denir.

Örnek: 𝑅² uzayında 𝐸 = {(1, 3)} olsun. 𝐸 ‘nin gerdiği (ürettiği) alt vektör uzayını bulunuz.

Cevap:  𝐸* = {𝑡(1, 3): 𝑡 ∈ 𝑅} = {(𝑡, 3𝑡): 𝑡 ∈ 𝑅}

Örnek: 𝑅² uzayında 𝐸 = {(1, 3)} olsun. 𝐸 ‘nin gerdiği (ürettiği) alt vektör uzayını bulunuz.

Cevap: 𝐸* = {𝑡(1, 3): 𝑡 ∈ 𝑅 = {(𝑡, 3𝑡): 𝑡 ∈ 𝑅}

Şimdi de bu bulunan kümeyi düzlemde gösterelim.

Örnek: 𝑅² uzayında 𝐸 = {(1, 3)} olsun. 𝐸 ‘nin gerdiği (ürettiği) alt vektör uzayını bulunuz.

Cevap: 𝐸* = {𝑡(1, 3): 𝑡 ∈ 𝑅} = { (𝑡, 3𝑡): 𝑡 ∈ 𝑅}

Şimdi de bu bulunan kümeyi düzlemde gösterelim.

Örnek: Düzlemde (2, 3) noktasından geçen ve sıfırdan farklı (3, 2) vektörüne paralel olan L doğrusunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?

HAFTA 10: LİNEER BAĞIMLILIK – LİNEER BAĞIMSIZLIK

V vektör uzayının bir {𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛} alt kümesi verilsin.

Eşitliğini sağlayan en az biri sıfırdan farklı 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 varsa, {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} kümesi lineer bağımlıdır aksi halde lineer bağımsızdır denir.

   

Teorem:

{𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛} kümesinin en az bir alt kümesi lineer bağımlı ise bu küme lineer bağımlıdır.

3𝑎1 + 5𝑎2 = (0, 0)

3𝑎1 + 5𝑎2 + 0𝑎3 + 0𝑎4 + 0𝑎5 + 0𝑎6 + ⋯ + 0𝑎𝑛−1 + 0𝑎𝑛 = (0, 0)

Not: R² uzayında 3 bileşenli yada daha fazla bileşenli vektörlerde  2 tanesi lineer bağımlı ise, tümü lineer bağımlı oluyor. Bir düzlem üzerinde bulunan vektörlerin bileşenleri 2 şer 2 şer bağımsız değilse kümenin tümü lineer bağımsız olmaz.

Bir Vektör Uzayının Boyutu (Baz-Taban)

Tanım: Lineer bağımsız {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} kümesinin tüm bileşenleri ile V vektör uzayı elde edilebiliyorsa, {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} kümesine V’nin baz ı (tabanı) denir.

Örnek: 𝑒1 = {1, 0, 0, 0, …, 0}

𝑒2 = {0, 1, 0, 0, …, 0}

𝑒3 = {0, 0, 1, 0, …, 0}

…

𝑒𝑛 = {0, 0, 0, 0, …, 1},

Eşitlikleriyle belirlenen, {𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒𝑛} kümesi, 𝑅𝑛 uzayının bir tabanıdır.

Tanım: V vektör uzayının sonlu boyutlu bir tabanı varsa, V’ye sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır denir.

Örnek: 𝑒1 = {1, 0, 0, 0, …, 0}

𝑒2 = {0, 1, 0, 0, …, 0}

𝑒3 = {0, 0, 1, 0, …, 0}

…

𝑒𝑛 = {0, 0, 0, 0, … , 1},

Eşitlikleriyle belirlenen, {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛} kümesi, 𝑅𝑛 uzayının bir tabanıdır.

Tanım: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. V’nin bir tabanındaki vektör sayısına, V’nin boyutu denir. V’nin boyutu dimV veya boyutV biçiminde gösterilir.

Örnek: R² vektör uzayının {(0, 0), (−1, 2), (2, −4), (0, 2), (1, 1)} alt kümesini A ile gösterelim. A kümesi R² vektör uzayını germektedir. R² uzayının bir tabanı olacak biçimde, A kümesinin bir alt kümesini bulunuz.

Cevap: C1. (−1, 2) + c2. (0, 2) = (0,0)

Örnek:  uzayında {(3, -1), (-2, 3), (-1, -1)} kümesinin lineer bağımlılık/bağımsızlık durumunu inceleyiniz.  Sorunun çözümünü yazınız.

HAFTA 11:  LİNEER DÖNÜŞÜMLER

V ve W aynı K cismi üzerinde vektör uzayları ve T, V uzayından W uzayına bir fonksiyon olsun. T fonksiyonu aşağıdaki önermeleri sağlarsa T’ye bir lineer dönüşüm denir.

• Her 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 için, 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇 𝑣,
• Her 𝑐 ∈ 𝐾 ve her 𝑢 ∈ 𝑉 için, 𝑇 𝑐𝑢 = 𝑐𝑇(𝑢)

Örnek: T = fonksiyon ve u skaler sayı. Aşağıdaki işlemler,

1.sıradaki şartın sağlaması.

T(x) = 2x => fonksiyonunda x yerine 4 verirsek T(4) = 2.4 = 8 olur.

T(x) = 2x => fonksiyonunda x yerine 2 verirsek T(2) = 2.2 = 4 olur. İkisinin toplamı = 12 olur.

T(x) = 2x => fonksiyonunda 2 + 4 alalım. T(2 + 4) = 2.6 =12 olur. Tek tek fonksiyonlarla hepsaplanan sonuçların toplamı ile fonksiyonun içinde hesaplanan toplamlar birbirne eşit mi.

T(x) = x² => fonksiyonunda x yerine 4 verirsek T(4) = 4² = 16 olur.

T(x) = x² => fonksiyonunda x yerine 2 verirsek T(2) = 2² = 4 olur. İkisinin toplamı = 20 olur.

T(x) = x² => fonksiyonunda 2 +4 alalım. T(2 +4) = 6² = 36 olur. Toplamları eşit olmaz. Lineer dönüşüm sağlamıyor.

2.sıradaki şartın sağlaması;

T(x) = 2x => fonksiyonunu x = 4 iken dışarıda 5 ile çarpalım 5.T(4) = 5.2.4 = 40 olur.

T(x) = 2x => fonksiyonunu x = 4 iken içeride 5 ile çarpalım T(5.4) = 2.2.0 = 40 olur. Lineer fonksiyon.

T(x) = x² => fonksiyonunda x =4 iken dışarıda 5 ile çarpalım 5.T(4) = 5.4² = 80 olur.

T(x) = x² => fonksiyonunda x = 4 iken içeride 5 ile çarpalım T(5.4) = 20² = 400 olur. Lineer bir fonksiyon değil.

Örnek:

𝑇: 𝑅³ → 𝑅², 𝑇(𝑢1, 𝑢2 , 𝑢3) = (3𝑢1 + 𝑢2, 𝑢1 + 𝑢3) fonksiyonunun bir lineer dönüşüm olduğunu gösteriniz.

Çözüm: 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) ve 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) olsun.

𝑇 (𝑢 + 𝑣) = (3(𝑢1 + 𝑣1) + (𝑢2 + 𝑣2), (𝑢1 + 𝑣1) + (𝑢3 + 𝑣3)) = (3𝑢1 + 3𝑣1 + 𝑢2 + 𝑣2, 𝑢1 + 𝑣1 + 𝑢3 + 𝑣3

= (3𝑢1 + 𝑢2 + 3𝑣1 + 𝑣2, 𝑢1 + 𝑢3 + 𝑣1 + 𝑣3) = (3𝑢1 + 𝑢2, 𝑢1 + 𝑢3) + (3𝑣1 + 𝑣2, 𝑣1 + 𝑣3)

𝑇 (𝑐𝑢) = (3𝑐𝑢1 + 𝑐𝑢2, 𝑐𝑢1 + 𝑐𝑢3) = 𝑐 (3𝑢1 + 𝑢2, 𝑢1 + 𝑢3)

Lineer Olmayan Dönüşümler

𝜑: 𝑋 → 𝐻

𝜑 (𝑥1, 𝑥2) → < 𝑥1, 𝑥2 > = < 𝜑(𝑥1), 𝜑(𝑥2) >               Şeklinde tanımlanabilir.

Örnek: Şimdi doğrusal olarak verilen 3 beyaz ve 7 siyah noktadan oluşan örneği inceleyelim.

Siyah noktalar ile beyaz noktalar lineer bir şekilde iki sınıfa ayrılabilir mi?

Cevap: R uzayında bulunan bu siyah noktalar ile beyaz noktaları doğrusal olarak birbirinden ayırmak mümkün değildir. Dolayısı ile R uzayında doğrusal ayrılamayan bu noktaları,

𝜑: 𝑋 → 𝐻

𝜑 (𝑥1, 𝑥2) → < 𝑥1, 𝑥2 > = < 𝜑(𝑥1), 𝜑(𝑥2) >               Fonksiyonu yardımıyla daha yüksek boyutlu bir uzaya gömerek (aktararak) sınıflandırmayı gerçekleştirebiliriz.

Şimdi verilen noktaların aşağıdaki gibi değerler aldığını varsayalım.

Verilen örnekte noktaların her biri R uzayındadır. Bu noktalar için aşağıdaki dönüşüm uygulanırsa nasıl bir görüntü ortaya çıkar?

Peki 𝑅² uzayından 𝑅³ uzayına bu şekilde bir dönüşüm gerçekleştirilebilir mi?

Şimdi gerçek hayat problemlerinde daha yüksek boyutlu veriler olduğu göz önünde bulundurulursa

𝑅³de lineer ayrılamayan veri kümesini daha yüksek boyutlu bir uzaya gömebiliriz (aktarabiliriz).

Not: xT deki  T,  x’in tranpozu anlamına geliyor. Yatay ise dikeye, dikey ise yataya çevir anlamına geliyor.

Bu dönüşüm 𝑅³ uzayında lineer ayrılamayan verilerin basit bir şekilde 𝑅9 uzayına aktarılması aşağıdaki fonksiyon yardımıyla gerçekleştirilebilir.

Not: Çözemediğiniz soruları bu https://math.microsoft.com/tr linkten çözmeyi deneyeblirsiniz.

Yorum Bölümü

Eklenmesini istediğiniz içerikleri; ders notları, sınav soruları ve program kurulum talimatları gibi içerik isteklerini yorum kısmında belirtirseniz en kısa zamanda eklerim. Yorumlarda yazdığınız e-postanız Gizlilik İlkemiz gereği kesinlikle yorumlarda yayınlanmıyor. Hiçbir kurum veya kişi ile paylaşılmıyor. Reklam e-postaları gönderilmiyor. E-posta doğrulaması yapılmıyor. Sadece yorumlarınız için geri bildirimde bulunmak için isteniyor.